रेलवे भर्ती बोर्ड (RRB) की परीक्षाओं, चाहे वह NTPC, ग्रुप D, या ALP हो, के गणित खंड को क्रैक करना भारतीय रेलवे में एक प्रतिष्ठित पद हासिल करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है। यह खंड आपकी गति, सटीकता और गणितीय अवधारणाओं की मौलिक समझ का परीक्षण करता है। लाखों उम्मीदवारों के बीच, सबसे अधिक बार पूछे जाने वाले प्रश्नों में महारत हासिल करना आपको एक महत्वपूर्ण बढ़त दिला सकता है। यह व्यापक 2000-शब्दों का गाइड आपको 20 सबसे महत्वपूर्ण प्रकार के प्रश्न, विस्तृत समाधान, वैचारिक स्पष्टीकरण और आपके प्रदर्शन को बढ़ावा देने के लिए समय बचाने वाली तरकीबें प्रदान करता है।
रेलवे गणित पाठ्यक्रम को समझना
प्रश्नों में गोता लगाने से पहले, युद्ध के मैदान को समझना आवश्यक है। अधिकांश रेलवे परीक्षाओं के लिए गणित का पाठ्यक्रम 10वीं कक्षा के स्तर पर आधारित है, जो सभी उम्मीदवारों के लिए एक समान अवसर सुनिश्चित करता है। [1] RRB NTPC, ग्रुप D, और ALP परीक्षाओं में लगातार आने वाले मुख्य विषय हैं:
- संख्या प्रणाली (Number System): HCF, LCM, दशमलव, भिन्न और BODMAS नियम का उपयोग करके सरलीकरण शामिल है।
- अंकगणित (Arithmetic): यह पाठ्यक्रम का हृदय है, जिसमें प्रतिशत, अनुपात और समानुपात, लाभ और हानि, समय और कार्य, समय, गति और दूरी, और साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज शामिल हैं।
- क्षेत्रमिति (Mensuration): बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों (2D और 3D) के क्षेत्रफल, परिधि और आयतन पर प्रश्न।
- उन्नत गणित (Advanced Maths): प्रारंभिक बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति।
- सांख्यिकी (Statistics): माध्य, माध्यिका, बहुलक और डेटा व्याख्या पर बुनियादी प्रश्न।
अब, आइए विषय के अनुसार वर्गीकृत 20 सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों से निपटें।
श्रेणी 1: संख्या प्रणाली और सरलीकरण
यह सबसे मौलिक क्षेत्र है और अक्सर गणित के पेपर का प्रारंभिक बिंदु होता है।
प्रश्न 1: दो संख्याओं का योग 40 है और उनका गुणनफल 375 है। उनके व्युत्क्रमों का योग क्या है?
हल:
मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।
दिया गया है: x + y = 40
दिया गया है: x * y = 375
हमें उनके व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करना है, जो (1/x) + (1/y) है।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम एक सामान्य भाजक ज्ञात करते हैं: (1/x) + (1/y) = (y + x) / (x * y)।
अब, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: (40) / (375)।
भिन्न को सरल करें: 40/375 = 8/75।
उत्तर: 8/75
अवधारणा कोना (Concept Corner): यह प्रश्न बीजगणितीय व्यंजकों में हेरफेर करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है। कुंजी लक्ष्य मान (व्युत्क्रमों का योग) को दिए गए मानों (संख्याओं का योग और गुणनफल) के संदर्भ में व्यक्त करना है।
प्रो टिप (Pro Tip): इस सीधे सूत्र को याद रखें: दो संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग उनके योग को उनके गुणनफल से विभाजित करने के बराबर होता है। यह आपको प्रारंभिक बीजगणितीय चरणों से बचाता है।
प्रश्न 2: व्यंजक को सरल करें: 108 ÷ 36 of 1/4 + 2/5 × 3 ¼
हल:
हम ‘BODMAS’ नियम (ब्रैकेट, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का उपयोग करते हैं।
चरण 1 (का/Of): 36 का 1/4 = 36 × 1/4 = 9।
व्यंजक बन जाता है: 108 ÷ 9 + 2/5 × 3 ¼।
चरण 2 (मिश्रित भिन्न को बदलें): 3 ¼ = 13/4।
अब व्यंजक है: 108 ÷ 9 + 2/5 × 13/4।
चरण 3 (भाग/Division): 108 ÷ 9 = 12।
अब व्यंजक है: 12 + 2/5 × 13/4।
चरण 4 (गुणा/Multiplication): 2/5 × 13/4 = 26/20 = 13/10।
अब व्यंजक है: 12 + 13/10।
चरण 5 (जोड़/Addition): 12 + 1.3 = 13.3।
उत्तर: 13.3
अवधारणा कोना (Concept Corner): BODMAS नियम गणित में संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है। ‘का’ शब्द को किसी भी भाग या मानक गुणा से पहले प्राथमिकता वाले गुणा के रूप में माना जाता है।
प्रो टिप (Pro Tip): हमेशा ‘का’ वाले हिस्से को पहले हल करें। एक सामान्य गलती ‘का’ को संभालने से पहले भाग करना है, जिससे गलत उत्तर आता है।
प्रश्न 3: दो संख्याओं का HCF और LCM क्रमशः 12 और 336 है। यदि एक संख्या 84 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
हम HCF, LCM और दो संख्याओं को जोड़ने वाले मौलिक गुण का उपयोग करते हैं।
सूत्र: दो संख्याओं का गुणनफल = उनके HCF और LCM का गुणनफल।
मान लीजिए दूसरी संख्या ‘x’ है।
84 * x = 12 * 336
x = (12 * 336) / 84
x = (1 * 336) / 7
x = 48
उत्तर: दूसरी संख्या 48 है।
अवधारणा कोना (Concept Corner): यह सिद्धांत संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है और इस तरह की समस्याओं को सीधे हल करने के लिए अत्यंत उपयोगी है।
प्रो टिप (Pro Tip): परीक्षा में, पहले 12 और 336 को गुणा न करें। जैसा कि समाधान में दिखाया गया है, भाग को सरल बनाने के अवसरों की तलाश करें। यह गणना को बहुत तेज बनाता है।
श्रेणी 2: प्रतिशत, लाभ और हानि
यह श्रेणी व्यवसाय-संबंधी और तुलना-आधारित समस्याओं के लिए महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 4: यदि चीनी की कीमत में 25% की वृद्धि हो जाती है, तो एक परिवार को अपने उपभोग में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए ताकि व्यय अपरिवर्तित रहे?
हल:
मान लीजिए प्रारंभिक मूल्य P और प्रारंभिक उपभोग C है। प्रारंभिक व्यय = P * C।
नया मूल्य = P * (1 + 25/100) = 1.25P।
मान लीजिए नया उपभोग C’ है। व्यय समान रहना चाहिए।
तो, 1.25P * C’ = P * C
C’ = (P * C) / 1.25P = C / 1.25 = 0.8C।
उपभोग में कमी = C – C’ = C – 0.8C = 0.2C।
प्रतिशत कमी = (कमी / प्रारंभिक उपभोग) * 100
= (0.2C / C) * 100 = 20%.
उत्तर: 20%
अवधारणा कोना (Concept Corner): यह व्युत्क्रमानुपाती का एक क्लासिक उदाहरण है। जब दो राशियों (मूल्य और उपभोग) का एक स्थिर गुणनफल (व्यय) होता है, तो एक में वृद्धि दूसरे में आनुपातिक कमी की ओर ले जाती है।
प्रो टिप (Pro Tip): ऐसे मामलों के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत कमी = [r / (100 + r)] * 100, जहां ‘r’ प्रतिशत वृद्धि है। यहाँ, r = 25। तो, [25 / (100 + 25)] * 100 = (25/125) * 100 = 20%।
प्रश्न 5: एक दुकानदार एक वस्तु को 20% के लाभ पर बेचता है। यदि उसने इसे 10% कम पर खरीदा होता और इसे ₹18 कम में बेचा होता, तो उसे 30% का लाभ होता। क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए मूल क्रय मूल्य (CP) ₹x है।
मूल विक्रय मूल्य (SP) = x + x का 20% = 1.2x।
नया CP = x – x का 10% = 0.9x।
नया SP = मूल SP – 18 = 1.2x – 18।
नया लाभ = नए CP पर 30%।
तो, नया SP = नया CP * (1 + 30/100) = 0.9x * 1.3 = 1.17x।
अब, नए SP के लिए दो व्यंजकों को बराबर करें:
1.2x – 18 = 1.17x
0.03x = 18
x = 18 / 0.03 = 1800 / 3 = 600।
उत्तर: क्रय मूल्य ₹600 है।
अवधारणा कोना (Concept Corner): इस समस्या में क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य और लाभ प्रतिशत की बदलती परिस्थितियों के आधार पर रैखिक समीकरण बनाना और हल करना शामिल है।
प्रो टिप (Pro Tip): नए लाभ प्रतिशत (30%) की गणना नए क्रय मूल्य (0.9x) पर करने में सावधानी बरतें, न कि मूल पर। यह एक आम piège है।
श्रेणी 3: समय, कार्य और दूरी
ये अनुप्रयोग-आधारित विषय हैं जो अक्सर विभिन्न रूपों में दिखाई देते हैं।
प्रश्न 7: A एक काम को 15 दिनों में और B उसे 20 दिनों में कर सकता है। वे 4 दिनों तक एक साथ काम करते हैं और फिर A काम छोड़ देता है। शेष काम को B कितने दिनों में पूरा करेगा?
हल:
15 और 20 का LCM लेकर कुल काम निकालें। LCM(15, 20) = 60 यूनिट।
A का एक दिन का काम = 60 / 15 = 4 यूनिट/दिन।
B का एक दिन का काम = 60 / 20 = 3 यूनिट/दिन।
(A+B) का एक दिन का काम = 4 + 3 = 7 यूनिट/दिन।
4 दिनों में किया गया काम = 7 यूनिट/दिन * 4 दिन = 28 यूनिट।
शेष काम = 60 – 28 = 32 यूनिट।
शेष काम को पूरा करने में B द्वारा लिया गया समय = शेष काम / B की कार्यक्षमता।
= 32 / 3 = 10 ⅔ दिन।
उत्तर: 10 ⅔ दिन।
अवधारणा कोना (Concept Corner): समय और कार्य की समस्याओं को हल करने के लिए LCM विधि सबसे कुशल तरीका है। LCM काम की कुल मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक व्यक्ति की दक्षता प्रति दिन किए गए काम की मात्रा है।
प्रो टिप (Pro Tip): हमेशा दिनों/घंटों को दक्षता (प्रति यूनिट समय में काम) में बदलें। यह प्रयासों को संयोजित करना (जोड़) या शेष कार्य खोजना (घटाव) सीधा बनाता है।
प्रश्न 8: 150 मीटर लंबी एक ट्रेन 90 किमी/घंटा की गति से चल रही है। 200 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को पार करने में उसे कितना समय लगेगा?
हल:
सबसे पहले, गति को m/s में बदलें: गति = 90 किमी/घंटा * (5/18) = 25 m/s।
तय की जाने वाली कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई।
कुल दूरी = 150 मी + 200 मी = 350 मी।
समय = कुल दूरी / गति।
समय = 350 / 25 = 14 सेकंड।
उत्तर: 14 सेकंड।
अवधारणा कोना (Concept Corner): जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म (या पुल या किसी अन्य ट्रेन) को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और उस वस्तु की लंबाई का योग होती है जिसे वह पार कर रही है।
प्रो टिप (Pro Tip): रूपांतरण कारक याद रखें: किमी/घंटा को m/s में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें। m/s को किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें। यह एक जरूरी शॉर्टकट है।
श्रेणी 4: ब्याज और अनुपात
प्रश्न 10: ₹5000 पर 2 साल के लिए 4% प्रति वर्ष की दर से साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
साधारण ब्याज (SI) = (P * R * T) / 100 = (5000 * 4 * 2) / 100 = ₹400।
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = P * [(1 + R/100)^T – 1]
= 5000 * [(1 + 4/100)^2 – 1]
= 5000 * [(1.04)^2 – 1] = 5000 * [1.0816 – 1] = 5000 * 0.0816 = ₹408।
अंतर = CI – SI = 408 – 400 = ₹8।
उत्तर: ₹8।
अवधारणा कोना (Concept Corner): दूसरे वर्ष के लिए CI और SI के बीच का अंतर इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि CI की गणना मूलधन और पहले वर्ष में अर्जित ब्याज पर की जाती है, जबकि SI की गणना केवल मूलधन पर की जाती है।
प्रो टिप (Pro Tip): 2-वर्ष की अवधि के लिए, सीधे सूत्र का उपयोग करें: अंतर = P * (R/100)^2। अंतर = 5000 * (4/100)^2 = 5000 * (1/25)^2 = 5000 / 625 = ₹8। यह एक बहुत बड़ा समय बचाने वाला है।
प्रश्न 12: एक बैग में 50 पैसे, 25 पैसे और 10 पैसे के सिक्के 5:9:4 के अनुपात में हैं, जिनकी कुल राशि ₹206 है। प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए 50 पैसे, 25 पैसे और 10 पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 5x, 9x, और 4x है।
सिक्कों के प्रत्येक सेट के मूल्य को रुपये में बदलें।
50 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 5x * 0.50 = ₹2.5x
25 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 9x * 0.25 = ₹2.25x
10 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 4x * 0.10 = ₹0.40x
कुल मूल्य = 2.5x + 2.25x + 0.40x = 5.15x
दिया गया है, कुल मूल्य = ₹206।
5.15x = 206 => x = 206 / 5.15 = 40।
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 5x = 5 * 40 = 200।
25 पैसे के सिक्कों की संख्या = 9x = 9 * 40 = 360।
10 पैसे के सिक्कों की संख्या = 4x = 4 * 40 = 160।
उत्तर: 200 (50 पैसे), 360 (25 पैसे), 160 (10 पैसे)।
अवधारणा कोना (Concept Corner): यह समस्या अनुपात की अवधारणा को मूल रैखिक समीकरणों के साथ जोड़ती है। कुंजी सिक्कों की संख्या के अनुपात को उनके मूल्यों के अनुपात में बदलना है।
प्रो टिप (Pro Tip): दशमलव से बचने के लिए, आप सब कुछ पैसे में बदल सकते हैं। कुल मूल्य = 20600 पैसे। सिक्कों का मूल्य = (5x * 50) + (9x * 25) + (4x * 10) = 250x + 225x + 40x = 515x। फिर 515x = 20600, जिससे x = 40 मिलता है।
श्रेणी 5: क्षेत्रमिति, बीजगणित और ज्यामिति
प्रश्न 14: यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान क्या है?
हल:
हमें दिया गया है x + 1/x = 5।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: (a + b)² = a² + b² + 2ab।
मान लीजिए a = x और b = 1/x।
(x + 1/x)² = x² + (1/x)² + 2 * x * (1/x)
(x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें: (5)² = x² + 1/x² + 2
25 = x² + 1/x² + 2
x² + 1/x² = 25 – 2 = 23।
उत्तर: 23।
अवधारणा कोना (Concept Corner): यह प्रारंभिक बीजगणित का एक क्लासिक प्रश्न है जो द्विपदों के वर्ग के आपके ज्ञान का परीक्षण करता है। [10]
प्रो टिप (Pro Tip): सूत्र याद रखें: यदि x + 1/x = k, तो x² + 1/x² = k² – 2। यह आपको सेकंडों में समस्या हल करने की अनुमति देता है।
प्रश्न 15: एक त्रिभुज के कोण 2:3:4 के अनुपात में हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कोण 2x, 3x, और 4x हैं।
एक त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180° होता है।
2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180° => x = 20°।
कोण हैं:
2x = 2 * 20 = 40°
3x = 3 * 20 = 60°
4x = 4 * 20 = 80°
सबसे बड़ा कोण 80° है।
उत्तर: 80°।
अवधारणा कोना (Concept Corner): यह प्रश्न त्रिभुजों के मौलिक गुण – कोण योग गुण – को अनुपात की अवधारणा के साथ जोड़कर परीक्षण करता है।
प्रो टिप (Pro Tip): सबसे बड़े कोण को सीधे खोजने के लिए, उसके अनुपात वाले भाग (4) को लें और अनुपात भागों के योग (2+3+4=9) से विभाजित करें, फिर 180 से गुणा करें। सबसे बड़ा कोण = (4/9) * 180 = 80°।
अन्य उच्च-आवृत्ति वाले प्रश्न
प्रश्न 16 (औसत गति): एक व्यक्ति A से B तक 20 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है और B से A तक 30 किमी/घंटा की गति से लौटता है। पूरी यात्रा के लिए उसकी औसत गति ज्ञात कीजिए।
- हल: दो समान दूरियों के लिए 2xy/(x+y) सूत्र का उपयोग करें। औसत गति = (2 * 20 * 30) / (20 + 30) = 1200 / 50 = 24 किमी/घंटा।
प्रश्न 17 (आयु संबंधी समस्याएं): A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 5:7 है। आठ साल पहले, उनकी आयु का अनुपात 7:13 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
- हल: मान लीजिए वर्तमान आयु 5x और 7x है। आठ साल पहले, वे 5x-8 और 7x-8 थे। (5x-8)/(7x-8) = 7/13। क्रॉस-गुणा करें: 65x – 104 = 49x – 56 => 16x = 48 => x=3। वर्तमान आयु 15 वर्ष और 21 वर्ष है।
प्रश्न 18 (त्रिकोणमिति): यदि sin(θ) = 5/13 है, तो tan(θ) का मान ज्ञात कीजिए।
- हल: sin(θ) = लंब/कर्ण। तो, लंब=5, कर्ण=13। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आधार = √(13² – 5²) = √144 = 12। tan(θ) = लंब/आधार = 5/12।
प्रश्न 19 (प्रारंभिक सांख्यिकी): पहली 10 अभाज्य संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।
- हल: पहली 10 अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 हैं। योग = 129। पदों की संख्या = 10। माध्य = योग / पदों की संख्या = 129 / 10 = 12.9।
प्रश्न 20 (मिश्रण): एक पंसारी को ₹60/किग्रा और ₹65/किग्रा वाली चाय की दो किस्मों को किस अनुपात में मिलाना चाहिए ताकि मिश्रण को ₹68.20/किग्रा पर बेचने पर उसे 10% का लाभ हो?
- हल: मिश्रण का विक्रय मूल्य = ₹68.20। लाभ = 10%। मिश्रण का क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ%) = 68.20 / 1.1 = ₹62। अब एलिगेशन का प्रयोग करें।
(60) (65)
\ /
(62)
/ \
(65-62=3) (62-60=2)
आवश्यक अनुपात 3:2 है।